Situation med rationel eksponent

Forfatter: Morten Engelsmann

Eksponentprodukt- eller multiplikationsreglen

I har nok indset, at hvis man opløfter et tal, der i sig selv er en potens, i en (ny) potens, fx

. Den sidste potens, med eksponenten skrevet som et produkt af eksponenterne i den "inderste" og den "yderste" potens, udtrykker produktreglen,

Hvis vi tillader os at omskrive kvadratrod til en potens med ukendt eksponent, så for eksempel kvadratroden af 16 skrives

, kan vi finde denne ukendte størrelse r ved eksponentproduktreglen. Det ræsonnement vi bruger, bygger på det faktum, at enhver potens med eksponenten 1 giver grundtallet selv. Vi ved desuden, at når en kvadratrod opløftes i anden potens, får vi grundtallet under kvadratrodstegnet:

. Lad os derfor fokusere alene på eksponenterne i denne ligning. Her har vi:

. Løsning af denne simple ligning med en ubekendt giver, at

. Jeg minder om, at rodeksponenten skrives for alle andre rødder, men netop udelades ved kvadratrod (hvor rodsksponenten er 2), at altså

. Med dette og ud fra den indsigt, der ligger i, at

, kan vi opstille den følgende regel.

Eksponentkvotient- eller divisionsreglen

Det er noget i stil med potens over det at tage den n'te rod af et tal,

, for eksempel

. Du kan nok huske, at kvadratet af 3 er 9 og kvadratet af 9 er 81, så

. ....

Man kan naturligvis kombinere reglerne. Sættes eksponentproduktreglen sammen med eksponentkvotientreglen, har vi udtryk af formen

Opgave 1a

Kvadratrod af kvadratrod: Prøv selv at regne dig frem til hvad der i vil svare til r. Hvad bliver eksponenten r for dette rod-udtryk: ? Hvordan vil du skrive "det omvendte" af eller et andet tal i tredje potens, ? Kom med dit bud for at opskrive eksponenten til rodeksponent.

Tjek dit svar

Opgave 1b

Hvad bliver eksponenten r for dette rod-udtryk: ? Hvordan vil du skrive "det omvendte" af eller et andet tal i tredje potens, ? Kom med dit bud for at opskrive eksponenten til rodeksponent.

Tjek dit svar

Opgave 1c

Hvordan vil du skrive "det omvendte" af eller et andet tal i tredje potens, ? Dit bud på at omskrive eksponenten til rodeksponent. Der er 1 korrekt svar.

Sæt kryds ved dit svar

A
-3
B
3
C
D

Tjek mine svar (3)

Eksempel på et rationelt tal

Et rationelt tal

kan udtrykkes som en brøk af to heltal uden fælles faktorer, hvorfor rationelle tal kan skrives som uforkortelige brøker

. Vi siger, at et tal

er lige, hvis 2 deler tallet, altså hvis

. Ellers er (hel)tallet

ulige, dvs.

. NB: Vi bruger operatoren "lodret streg",

, til at skrive "deler". Vi skal betragte de fire situationer for potensfunktioner, der opstår af at både tæller og nævner kan være lige, henholdsvis ulige. Eksempel: Tallet

kan som ovenfor angivet skrives som en uforkortelig brøk. Den kan også udtrykkes som en uendelig, men periodisk decimalbrøk,

. Her er tælleren lige, medens nævneren er ulige.

Eksempel på potensfunktion med rationel eksponent

Opgave 2: Punkter på grafen

Hvert punkt på grafen for f har koordinatparret . Vi kan derfor se på den del af grafen, som GeoGebra viser i tredje kvadrant, for eksempel punktet (-1,-1): Andenkoordinaten (y) skulle altså være førstekoordinaten opløftet i minus fem tredjedele, hvilket svarer til at have en stambrøk med kubikroden af opløftet i 5. potens, . Lidt af en nød at knække! Lad os begynde inderst, med :

Kan man tage kubikroden af et negativt tal?
Hvis man ikke kan, giver det slet ikke mening at vise punkter på grafen, hvor vi har negative funktionsværdier. GeoGebra tager fejl, og bogen har ret.
Hvis man kan, er næste trin at vi opløfter kubikroden i femte potens og dividerer 1 med resultatet. Giver det et negativt tal, nærmere bestemt ?
Hvis ikke, har GeoGebra taget fejl her, og selvom man kunne gå første skridt sammen med bogen, får bogen endelig ret her. Hvis man kommer frem til det negative tal , må vi tilbagevise bogens begrænsninger af definitions- og værdimængder for netop denne gruppe af potensfunktioner.

Sæt kryds ved dit svar

A
Kubikroden af et negativt tal, fx , findes ikke. Bogen har ret, GeoGebra tager fejl.
B
Når man opløfter et tal i potens, bliver resultatet altid positivt, uanset værdien af eksponenten.
C
Opløfter et negativt tal i potens med en (heltallig og) ulige eksponent, bliver resultatet negativt.

Tjek mine svar (3)

Demo

Opgave til timen

I et Word-dokument indsætter du en 3x3 tabel. Overskrift til række 2 "Nævner lige", række 3: "Nævner ulige". kolonne 2 "Tæller lige", kolonne 3: "Tæller ulige". I GeoGebra indretter du to skydere, begge som heltal.

Den ene, t, starter ved -5 og slutter ved 5.
Den anden, n, starter ved 1 og går til 10.

Opret en potensfunktion

og sørg for at farve, stregtykkelse osv. gør, at den kan ses også hvis den bliver skaleret lidt ned (fx som billedet herover). Jeg vil anbefale (har selv gjort det), at du vælger menupunktet Indstillinger > Gem indstillinger, når du har fundet nogle som er smarte at have næste gang du åbner GeoGebra! Vælg derefter fire sæt tal med tæller forskellig i hvert sæt, nævner også forskellig i hvert sæt. Kopier tegningen ind på det rigtige sted i tabellen i Word. Gerne med forskellige farver grafer i hver af tabellens celler!

Er der forskel mellem "grafens adfærd" når eksponenten er positiv, respektive negativ? (Skal tabellen udvides)?
Er der celler, som ikke giver mening for en "uforkortelig brøk"?

Forklar under tabellen med ord og ved hjælp af regler for regning med rødder og potenser, hvorfor hver situation har grafer som de har (definitionsmængde og hvor grafens dele ligger).

Se også

Arbejdsarket bygger videre på dette ark om potensfunktioner med heltallig eksponent.

Situation med rationel eksponent

Eksponentprodukt- eller multiplikationsreglen

Eksponentkvotient- eller divisionsreglen

Opgave 1a

Opgave 1b

Opgave 1c

Eksempel på et rationelt tal

Eksempel på potensfunktion med rationel eksponent

Opgave 2: Punkter på grafen

Demo

Opgave til timen

Opgave 3a

Opgave 3b

Opgave 3c

Opgave 3d

Opgave 3e

Opgave 3f

Se også

Nye Materialer

Opdag Ressourcer

Udforsk emner