Une construction géométrique de pi
- Auteur :
- L.A.
1) Cercle roulant
En utilisant le curseur, vous pouvez faire rouler le cercle en vert sur l'axe des abscisses.
Le rayon du cercle est égal à 1, et lorsque le repère a effectué un demi-tour, le déplacement équivaut à la moitié de la circonférence soit
2) Bissectrices
Les droites en bleu forment avec l'axe des abscisses des angles mesurant 45° puis 22,5° puis 11,25° puis 5,625° et ainsi de suite...
À chaque itération l'angle est divisé par 2.
Cette construction peut se faire directement au moyen des deux cercles et des segments en pointillés.
3) Construction de pi et de 4/pi
Grâce aux bissectrices en bleu et aux angles droits indiqués en violet, on construit les deux suites de segments en rouge qui convergent vers les points d'abscisses et
Noter que la racine carrée du nombre d'or vaut
4) Par le calcul
Soit la suite définie par et .
Noter en particulier que .
Alors les produits infinis permettent d'exprimer et .