Mitjana proporcional - Utilitats - equivalència
- Autor:
- Josep Iglesias, Pep Bujosa
- Tema:
- Rectángulo
LA TEORIA
Es diu que la longitud d'un segment m és la mitjana proporcional respecte de les longituds a i b de dos segments quan es verifica que a/m=m/b , per tant a·b=m².
Matemàticament s'explica mitjançant triangles rectangles semblants a partir del teorema de l'altura: El quadrat de l'altura sobre la hipotenusa és igual a la multiplicació de la projecció dels catets sobre aquesta.
Us deixo un document de Pep Bujosa que us el farà més entenedor:
LA REPRESENTACIÓ GRÀFICA
En aquest document de Geogebra podeu veure els passos de construcció amb els comandaments inferiors.
UTILITAT 1 - Representació gràfica de nombres Irracionals
Si fem que un dels dos segments inicials sigui 1, la mitjana proporcional serà l'arrel quadrada de l'altre segment.
En aquest document de Geogebra podeu veure els passos de construcció amb els comandaments inferiors.
UTILITAT 2 - A partir d'un rectangle, trobar un quadrat amb la mateixa àrea.
Si ens fixem amb les proporcions de la mitjana proporcional a/m=m/b i les transformem amb multiplicacions a·b=m², ens surt que la multiplicació de dues longituds a·b que pot ser l'àrea d'un rectangle equival a m² que pot ser l'àrea d'un quadrat de costat m.
En aquest document de Geogebra podeu veure els passos de construcció amb els comandaments inferiors.
Podem transformar també altres figures com un triangle, en un rectangle. Només cal comparar les fórmules, si el triangles ési el rectangle és b·a, llavors vol dir que l'altura a del rectangle ha de ser la meitat de l'altura h del triangle.
És important observar tots els triangles que tenen la mateixa base i tenen la mateixa altura, tindran la mateixa àrea, per tant podem desplaçar el vèrtex superior per una recta paral·lela a la base i el triangle seguirà tenint la mateixa àrea.
Podem fer el mateix utilitzant qualsevol polígon, hem de mantenir un costat d'aquest, dividir el polígon amb triangles i desplaçant els vèrtex d'aquests mantenint l'altura de cada triangle fins tenir tots els vèrtex menys un sobre la base que hem mantingut.
Fet això ja tenim un triangle i podem procedir amb el desenvolupament anterior.
Si voleu ampliar altres utilitats de la mitjana proporcional, us deixo aquest enllaç de Geogebra, on podreu arribar a entendre com construir figures semblants a d'altres amb una raó determinada entre àrees.