Tangencias por inversión // 01. PPr
- Autor:
- José Vicente Araújo
Método general
Podemos usar inversión para solucionar problemas en los que debemos trazar una circunferencia tangente a otros tres elementos. Estos pueden ser puntos, rectas o circunferencias tomados en cualquier orden.
En los casos más sencillos (circunferencia que pasa por tres puntos, circunferencia tangente a tres rectas) no es necesario emplear inversión para solventarlos, y algunos otros se pueden resolver mediante ejes y centros radicales. Pero en otros casos, puede que la inversión sea el método más adecuado.
El método general consiste en los siguientes pasos:
- Dados los datos, tomamos un centro de inversión en uno de ellos y una circunferencia de autoinversión (también llamada de puntos dobles).
- A partir de esos elementos, hallamos los inversos de los datos
- Trazamos las tangentes a esos elementos
- Hallamos las inversas a esas tangentes
- Sean la recta r y los puntos A y B, queremos dibujar una circunferencia tangente a r que pase por A y B.
- Elegimos B como centro de la inversión y trazamos una circunferencia de autoinversión cualquiera. Hemos elegido la que es tangente a r, ya que de ese modo el punto de tangencia P será doble.
- La circunferencia de diámetro BP es inversa de r.
- Hallamos A', inverso de A. Nos apoyamos para ello en D, punto de tangencia de la recta AD con la circunferencia de puntos dobles.
- Trazamos por A' la recta n, tangente a c en T'. Por supuesto, existe otra circunferencia tangente a c pasando por A', pero en este ejemplo la omitimos para ganar en claridad.
- La circunferencia e, que pasa por A, B y los puntos donde n es secante a la circunferencia de autoinversión, es la solución buscada.
- Nótese que T' es inverso de T, punto de tangencia de la solución con r, lo que nos proporciona otros posibles procedimientos para hallar la solución.