Equilátero entre paralelas
- Autor:
- Ignacio Larrosa Cañestro
- Tema:
- Elipse
Dadas tres líneas paralelas l1, l2 y l3, tales que la distancia entre l1 y l2 es r, y la distancia entre l2 y l3 es s, y entre l1 y l3 es r + s, determinar el lado de un triángulo equilátero que tiene un vértice en cada una de ellas.
Fijado un vértice en una de las rectas, la solución es única salvo simetría, y se obtiene rotando otra de las rectas 60º en a él. El Punto en que la recta girada corta a la tercera es el segundo vértice, y el tercero se obtiene deshaciendo el giro. Dependiendo del sentido de giro, se obtiene una solución o su simétrica.
El cálculo del lado d del triángulo en función de r y s es sencillo:
r = d·sen(α) ⇒ sen(α) = r/d
s = d·sen(60º - α) = d((√3/2)cos(α) - (1/2)sen(α))
2s = d(√3√(1 - (r/d)²) - r/d) = √3√(d² - r²) - r ⇒
(2s + r)² = 3(d² - r²) ⇒ 4s² + 4sr + r² =3d² - 3r² ⇒
3d² = 4(r² + rs + s²) ⇒ d = 2√((r² + rs + s²)/3)
Para evitar duplicidades y encuadrar bien el triángulo, se debe introducir en el panel izquierdo valores de r y s tales que 0 < r ≤ s. Pulsando el botón [Solución paramétrica] se asignan a r y s los valores deducidos del panel derecho, tal y como se explica a continuación.
Es una ecuación homogénea de 2º grado en tres variables. Si estamos interesados en sus soluciones enteras, podemos dividir la penúltima ecuación por d² y hacer x = r/d, y = s/d, con lo que nos queda:
x² + xy + y² = 3/4
Esta es la ecuación de una elipse en el plano Oxy. Los ejes son las bisectrices de los cuadrantes. Si localizamos un punto de coordenadas racionales, cualquier recta de pendiente racional que pase por el, volverá a cortar a la elipse en otro punto de coordenadas racionales. Dos puntos obvios de coordenadas racionales son (+/-1/2, +/-1/2). Como estamos interesados en puntos de coordenadas positivas, tomamos como vértice del haz de rectas el punto P = (-1/2, -1/2). La ecuación de cualquier recta que pase por él es
y + 1/2 = t(x + 1/2)
Para evitar duplicidades y dado que solo estamos interesados en valores positivos y para evitar duplicidades, tomaremos r < s y ambos positivos, lo que restringe los valores de t a [1, 1 + √3]. Despejando y en la ecuación de la recta, sustituyendo en la de la elipse y dividiendo por (x + 1/2), ya que x = - 1/2 es una solución, nos queda:
x = - (t² - 2t - 2)/(2(t² + t + 1))
y = (2t² + 2t - 1)/(2(t² + t + 1))
Para cada valor racional de t, se obtienen valores racionales de x e y, que multiplicados por el mcm de sus denominadores, que sera d, nos proporcionan r y s, todos enteros.