Simulation von Aktienkursen - Unterrichtsplanung
Kurzinformation
- Thema: Simulation, Finanzmathematik
- 12. Schulstufe, Mathematik
- Dauer: 100 - 120 Minuten
- SchülerInnenmaterial: GeoGebra Buch, Lösungen Es wird empfohlen, die Simulationen mit GeoGebra am PC zu erstellen.
Vorwissen und Voraussetzungen
Die SchülerInnen ...
- ... kennen den Begriff der diskreten Zufallsvariable und der diskreten Verteilung.
- ... kennen die Begriffe "Erwartungswert" und "Standardabweichung".
- ... kennen den Begriff der "normalverteilten Zufallsvariable".
- ... kennen die Exponentialfunktion.
- ... haben Erfahrung im Umgang mit GeoGebra.
- ... können Wahrscheinlichkeiten mit relativen Häufigkeiten berechnen.
Lernergebnisse und Kompetenzen
Die SchülerInnen können ...
- ... Simulationen mit GeoGebra mit Hilfe normalverteilter Zufallsvariablen durchführen.
- ... künftige mögliche Aktienkurse mit Hilfe von Trend und Volatilität simulieren.
- ... den Einfluss von Trend und Volatilität auf die Aktienkursentwicklung beschreiben.
- ... grobe Wahrscheinlichkeitsaussagen über eine Aktienkursentwicklung machen.
- ... ihre Problemlösefähigkeit vertiefen.
Unterrichtsablauf
Zur Durchführung der Unterrichtssequenz wird GeoGebra (Tabellen-, Algebra- und Grafikfenster) benötigt. Die Aufgaben können entweder online im GeoGebra Buch oder einfacher mit GeoGebra an einem PC (aufgrund Bildschirmgröße und Programmieraufwand) gelöst werden.
Einführung (5 min)
Zuerst wird der Ablauf der Unterrichtssequenz gemeinsam besprochen und die SchülerInnen erhalten den Link zum GeoGebra Buch. Das Thema der Problemstellung - Simulation von Aktienkursen - wird erklärt. Dabei kann auf die Firma Invest-Design eingegangen werden (siehe Einführung und Problemstellung).
Hinweis: Falls die SchülerInnen nur den Link zu den Materialien bekommen, werden die Ergebnisse nicht automatisch gespeichert. Damit die Eingaben gespeichert werden, müssen die Materialien über eine GeoGebra Gruppe geteilt werden.
Finanzmathematische Hintergründe (ca. 15 min)
Die SchülerInnen arbeiten gemeinsam mit der Lehrperson an der Diskussion des Wiener'schen Aktienkursmodells. Die Formel wird bekanntgegeben und deren Bestandteile gemeinsam analysiert und besprochen. Abhängig von dem Vorwissen, kann dieses Modell der exponentiellen stetigen Verzinsung oder exponentiellen Wachstumsprozessen gegenüber gestellt werden.
Notwendige (finanz-)mathematische Begriffe sind auf diesem Arbeitsblatt erklärt.
Aufgabe 1 (10 - 15 min)
In Aufgabe 1 soll die Aktienkursentwicklung einer fiktiven Aktie "Airport" für einen Tag simuliert werden. Trend und Volatilität werden dabei vorgegeben. Die SchülerInnen sollen diese Aufgabe mit GeoGebra lösen. Hierfür stehen zwei Varianten zur Differenzierung zur Verfügung. Variante A ist etwas herausfordernder. In Variante B sind bereits erste Schritte des Lösungsweges durchgeführt.
Die beiden Werte und (Aktienkurse zum Zeitpunkt 0 und 1) sollen im Grafikfenster dargestellt werden. Die SchülerInnen sollen zum Abschluss deren unterschiedliche Ergebnisse für diskutieren.
Aufgabe 2 (20 - 25 min)
Aufbauend auf Aufgabe 1, soll in Aufgabe 2 die Aktienkursentwicklung einer fiktiven Aktie "Airport" für einen Monat, d.h. 30 Tage, simuliert werden und damit eine mögliche Wertentwicklung im Laufe eines Monats ermittelt werden. Trend und Volatilität werden dabei von Aufgabe 1 beibehalten. Die SchülerInnen sollen diese Aufgabe mit GeoGebra lösen (entweder online im GeoGebra Buch - hier wurde ein leeres Applet vorbereitet - oder offline). Alle Werte (, , , ...) sollen im Grafikfenster dargestellt, sowie die Ergebnisse mit KollegInnen verglichen und diskutiert werden. Eine mögliche Lösung ist in den Lösungen dargestellt.
Hinweis: Bei dieser Aufgabe könnten die SchülerInnen eventuell Schwierigkeiten haben und bei Bedarf kann man ihnen die Musterlösung für diese Aufgabe zur Verfügung stellen.
Aufgabe 3 (10 - 15 min)
In Aufgabe 3 wird nun untersucht, wie sich eine Veränderung des Trends und der Volatilität auf die mögliche Aktienkursentwicklung auswirkt. Dazu kann aufbauend auf Aufgabe 2 die Eingabe für Trend und Volatilität im Tabellenfenster verändert werden. Im GeoGebra Buch hingegen wurden Schieberegler für die Werte von Trend und Volatilität im Applet zur Musterlösung der Aufgabe 2 eingefügt. Zum Abschluss sollen Multiple Choice Fragen dazu beantwortet und die Erkenntnisse mit KollegInnen verglichen und diskutiert werden.
Aufgabe 4 (ca. 40 min: Variante A / ca. 20 min: Variante: B)
Aufgabe 4 basiert auf Aufgabe 2, nur sollen nun 20 mögliche Entwicklungen erzeugt und im Grafikfenster dargestellt werden. hierfür stehen erneut zwei Varianten als Differenzierungsmöglichkeit bereit. In Variante A soll dies von den SchülerInnen selbst mit GeoGebra programmiert werden, in Variante B ist bereits ein fertiges GeoGebra-Arbeitsblatt vorhanden. Ausgehend von diesen Simulationen soll die Wahrscheinlichkeit abgeschätzt werden, mit der nach Ablauf eines Monats der Aktienkurs zwischen 11 und 13 Punkten liegt.
Um eine bessere Abschätzung angeben zu können, können die Ergebnisse der 20 Simulationen von jedem gesammelt werden. Dann wird ermittelt, wie viele der möglichen Kursentwicklungen nach einem Monat zwischen 11 und 13 Punkten liegen (z.B. wenn von 400 Simulationen 68 zwischen 11 und 13 Punkten ergeben, wäre eine Abschätzung für die Wahrscheinlichkeit 68/400).
Überprüfen des Lernerfolgs
Während der Unterrichtssequenz
- Eigenkontrolle der SchülerInnen durch Vergleichen mit Musterlösungen
- Diskussion mit KollegInnen und evtl. im Plenum
- Evtl. Kontrolle der schriftlich festgehaltenen Ergebnisse durch die Lehrkraft
- Diskussion der Ergebnisse im Plenum
Links zu Materialien
